等式の証明

展開によって等式を証明します。
1行1行を確認しながら進んでください。

(問)$\ a+b+c=0$のとき$a(b+c)+b(a+c)=-a^2-b^2$を証明せよ。

$a+b+c=0$から文字$c$を消去するのもよさそうだが、
$b+c$を$-a$で置き換えたり、$a+c$を$-b$でおきかえることもできる。
ここではそれを採用して(左辺)$-$(右辺)を計算して$0$になることを目指す。

左辺$-$右辺$=(a(b+c)+b(a+c))-(-a^2-b^2)$

$=a(-a)+b(-b)+a^2+b^2$

$=-a^2-b^2+a^2+b^2=0$

よって$\ a(b+c)+b(a+c)=-a^2-b^2$

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（証明終わり）

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